Pierwiastek matematyczny i algebraiczny?

1. Zadaj pytanie
2. Odpowiedz
3. Dowiedz sie więcej

Polecane pytania


Dodaj swoje zadanie domowe za darmo

Pierwiastek matematyczny i algebraiczny...
Napisano 14-10-2007 07:41
, przez mat
Witam!

Panie Grzegorzu, proszę o pomoc w wyjaśnieniu i usystematyzowaniu pewnej kwestii. Oczywiście jeśli znajdzie Pan tyle wolnego czasu, żeby to przeczytać ;-).
Mam do wytłumaczenia synowi pewne zagadnienia związane z funkcją kwadratową, pierwiastkiem arytmetycznym i algebraicznym (poziom gimnazjum).
Chodzi bardziej o kwestie formalne niż praktyczne. A teraz do rzeczy:

1) W podręczniku matematyki w rozdziale o pierwiastkach podana jest definicja pierwiastka arytmetycznego, choć to pojęcie nie jest wprost użyte:
2) Według tej definicji pierwiastkiem np. liczby 9 jest liczba 3 (jest to oczywiste)
3) Podczas zajęć z matematyki jako porawne rozwiązanie (rozszerzające wiedzę podręcznikową?) jest uznawane takie, że pierwiastkiem liczby 9 są liczby 3 oraz -3 (oczywiście na tym poziomie kształcenia nie ma mowy o pierwiastku algebraicznym i liczbach zespolonych) a uzasadnienie takie, że zarówno 3 jak i -3 podniesione do kwadratu dają liczbę 9.

Czy można to wytłumaczyć w ten sposób, że są to tak naprawdę liczby zespolone 3+0i oraz -3+0i, ale ponieważ część urojona tych liczb zespolonych jest równa zero, to można takie liczby traktować jako liczby rzeczywiste, informację o tym pominąć a rozwiązanie takie uważać za poprawne (niepsrzeczne z definicją w podręczniku)?

4) Mam też pytanie dotyczące kwestii jak formalnie powinien wyglądać prawidłowy zapis np. takich zadań:



Czy jedynym poprawnym rozwiązaniem jest:




Czy można także zapisać w ten sposób? (tu mam duże wątpliwości, choć taki zapis często stosuje się w szkole):



Mam takie pytanie do tego drugiego zapisu:
Wydaje mi się, że rozbieżność między tymi rozwiązaniami wynik z zapisu sqrt(x^2)=x, co jest prawdą tylko dla x dodatnich a poprawnie powinno być sqrt(x^2)=|x|. Ale z drugiej strony w podawanych w szkole przykładach np. przy przekształceniach wyrażeń algebraicznych "upraszcza" się takie wyrażenia "pozbywając" się jednocześnie znaku pierwiastka i potęgi (czy takie działanie jest poprawne?).


Jak to wytłumaczyć prosto i spójnie komuś kto zna samo pojęcie liczby zespolonej (tzn. fakt, że takie liczby istnieją i np. mają taką własność, że i^2=-1), ale chodzi o wytłumaczenie na takim poziomie na jakim teraz się uczy (tzn. bez odwoływania się do liczb zespolonych). Myślę, że nieporozumienia biorą się z tego, że funkcje x^2 i sqrt(x) traktowane są w szkole jako funkcje odwrotne dla wszytkich x, a nie tylko dla x nieujemnych(?). Chociaż tej diagnozy nie jestem taki pewien ;-)
Zastanawiałem się także nad tym, czy w podręcznikach zawsze było wyraźne rozróżnienie pierwiastka arytmetycznego i algebraicznego (bo w mojej szkole chyba nie - wprawdzie było to tak dawno, że może zapomniałem ;-)))

A teraz kilka pytań z dziedziny "filozofii matematycznej"
Czy da sie jakoś wytłumaczyć lub uzasadnić (oczywiście inaczej niż "bo taka jest definicja"), dlaczego definicja pierwiastka arytmetycznego jest taka jaka jest tzn. ogranicza się tylko dla wartości nieujemnych. Co by się stało gdyby w definicji nie było tego ograniczenia.
Zastanawiam się czy to nie jest trochę tak jak z zaliczeniem (lub nie) zera do liczb naturalnych?

Pozdrawiam!
Odp: Pierwiastek matematyczny i ...
Napisano 16-01-2019 01:19:25
, przez zadane
Sprobuj na http://dojrzewamy.pl. Pisza ponad 2000 odpowiedzi dziennie!
Odp: Pierwiastek matematyczny i ...
Napisano 14-10-2007 14:48
a)Definicja:
Pierwiastek arytmetyczny stopnia naturalnego k (k>1) z liczby rzeczywistej nieujemnej jest to taka liczba nieujemna, której k-ta potęga jest równa liczbie podpierwiastkowej.

b) definicja ta jest rozszerzona na liczby ujemne tylko dla pierwiastków stopnia nieparzystego, w oparciu o tożsamość:
ważną dla dowolnego naturalnego n (tj. n>=1) i dowolnego rzeczywistego a.

c)Termin "pierwiastek algebraiczny" nie jest terminem "oficjalnym" - jest używany dla większej precyzji wypowiedzi w matematyce "szkolnej" (chodzi o odróżnienie pierwiastka arytmetycznego od pierwiastka równania).
W istocie bowiem algebra nie zajmuje się "pierwiastkami z liczb" (to jest domena arytmetyki!), tylko pierwiastkami równań algebraicznych, tj. miejscami zerowymi wielomianów (pośrednio - także funkcji wymiernych).

d)Potocznie w praktyce szkolnej nazywa się pierwiastkiem "algebraicznym" stopnia naturalnego k (k>1) z liczby rzeczywistej a KAŻDE rzeczywiste miejsce zerowe funkcji (tzn. pierwiastek równania .

e)W myśl Wniosku z Zasadniczego Twierdzenia Algebry, funkcja ta ma dokładnie k miejsc zerowych z tym, że niektóre z nich (w liczbie parzystej) nie są rzeczywiste (są zespolone, parami sprzężone - ale to nie do wiadomości gimnazjalisty).
{UWAGA: to, że nie są rzeczywiste, nie oznacza, iż są "fikcyjne", nie mające związku z rzeczywistością; przeciwnie, mają one np. swoją interpretację fizyczną jako parametry określające rezystancję obwodu elektrycznego prądu zmiennego. Po prostu terminy "rzeczywisty" i "nierzeczywisty" w matematyce mają nieco inne znaczenie niż w języku potocznym; jest w matematyce bardzo wiele takich terminów!}

f)Konkretnie: dla k nieparzystego funkcja x^k-a ma zawsze dokładnie jedno miejsce zerowe rzeczywiste, dla dowolonego a rzeczywistego.
Dla k parzystego funkcja ta ma :
- gdy a=0 , jedno rzeczywiste miejsce zerowe, równe zeru, które jest wielokrotne (konkretnie: k-krotne; wyczerpuje ono tytm samym zbiór wszystkich miejsc zerowych)
-gdy a>0, dwa rzeczywiste miejsca zerowe; jednym z nich jest pierwiastek arytmetyczny z a, drugim liczba do niego przeciwna. Pozostałych k-2 miejsc zerowych to liczby "nierzeczywiste";
-gdy a<0, rzeczywistych miejsc zerowych nie ma, wszystkie są nierzeczywiste.

g) Dopuszczalnymi sposobami zapisania "[i[rozwiązania[/i] w liczbach rzeczywistych" (czyli zbioru pierwiastków) równania są:

h) Równanie tylko pod warunkiem, że rozumiemy, iż

i) Funkcja y=sqrt{x} nie może być traktowana jako funkcja odwrotna do funkcji y=x^2, gdyż ta ostatnia nie jest odwracalna w całej swojej dziedzinie (nie jest różnowartościowa w R).
y=sqrt{x} jest funkcj/a odwrotn/a do funkcji y=x^2 zawężonej do zbioru x>=0.
Funkcją odwrotną do y=x^2 zawężonej do zbioru x<=0 jest y=-sqrt{x}.

Relacja funkcyjna y=x^2 ma w zbiorze R swoją relację odwrotną: ale jest to już relacja niejednoznaczna, nie jest funkcją.

j) definicje potęg o wkładnikach naturalnych i swprzężone z nimi definicje pierwiastków arytmetycznych są uwarunkowane historycznie. Najpierw było pojęcie kwadratu (drugiej potęgi) w związku z mierzeniem im obliczaniem pól powierzchni. Potem, dopiero w związku z
twierdzeniem Pitagorasa, pojawił się pierwiastek kwadratowy. Naturalna kontynuacja, to sześcian i pierwiastek sześcienny (w zw. zs objętością). Oczywiście ta geometryczna interpretacja wykluczała wyniki ujemne, bo odcinek (bok kwadratu, krawędź sześcianu) nie może mieć miary ujemnej!

No, a naturalną konsekwencją było przejście do potęg o wyższych wykładnikach i pierwiastków arytmetycznych tychże stopni, jako liczb nieujemnych.

k) za moich czasów "plagą" na egzaminatorów na studia matematyczne (i dla prowadzących zajęcia) były wynoszone ze szkoły "twiedzenia", że pierwiastek kwadratowy z 4 to jest "plus-minus 2", tj. utożsamianie pierwiastka z liczby z pierwiastkiem równania. No i wymyślono, jak z tym zrobić porządek - wprowadzono termin "pierwiastek algebraiczny".
Ale, jak wspomniałem na wstępie, to nie jest pojęcie algebraiczne! - nie interesuje ono algebraików; tym bardziej, że pierwiastki równań stopni wyższych od 4 z reguły (o czym przekonał nas Galois), na ogół nie dają sie zapisać w postaci "pierwiastników" czyli wyrażeń z pierwiastkami (arytmetycznymi).

l)NB. liczba zero nie jest liczbą naturalną, bo jest liczbą [hb]kardynalną[/b] (główną, określającą liczebność zbioru; naturalnie pustego). Liczby naturalne zaczynają się (to też uwarunkowane historycznie, a nawet prehistorycznie ;) ) od 1 i taka definicja obowiązuje w teorii liczb i arytmetyce teoretycznej. Dopiero Arabowie (może dlatego, ze oswojeni z pustynią ;) ) dostrzegli celowość wprowadzenia do arytmetyki ZERA; nie jest to więc pojęcie "wrodzone" ("naturalne").
Za moich studenckich lat zbiór N1={1,2,...} był "zbiorem liczb naturalnych", a zbiór No={0, 1,2,...} "zbiorem liczb naturalnych z (dołączonym} zerem".

Dopiero rozwój informatyki i "zwyczaj" numerowania wszystkiego (np. bajtów pamięci) od zera zainspirował "modę" dokładania, ale do zbioru liczebników porządkowych, nie "głównych"! - liczby zero.

Stąd biorą się błędne koncepcje istnienia np. w kalendarzu rzekomego "roku zerowego" (zamiast "chwili zerowej", oddzielającej rok "-1" od "1),. choć nikt nie powie o noworodku, że przeżywa swój "zerowy" miesiąc, rok czy tydzień życia! No i pomysły niedokształconych w Teorii Liczb matematyków (także profesorów!), żeby 0 uważać za liczbę naturalną. Ale to jest po prostu nieporozumienie.
Odp: Pierwiastek matematyczny i ...
Napisano 14-10-2007 16:10
, przez mat
Witam!

Bardzo dziękuje za obszerne wyjaśnienie i poświęcony na to czas. Trochę mi to uporządkowało niektóre pojęcia. Szczególnie dotyczące pierwiastka algebraicznego.

A jeżeli chodzi o to Pana stwierdzenie:

<I>za moich czasów "plagą" na egzaminatorów na studia matematyczne (i dla prowadzących zajęcia) były wynoszone ze szkoły "twiedzenia", że pierwiastek kwadratowy z 4 to jest "plus-minus 2", tj. utożsamianie pierwiastka z liczby z pierwiastkiem równania. No i wymyślono, jak z tym zrobić porządek - wprowadzono termin "pierwiastek algebraiczny".</I>

to myślę, że w dalszym ciagu nie jest to wyjaśniane tak jak być powinno (nie mówię, że tak jest wszędzie).

Pozdrawiam!
pytanie:
odpowiedź:


load_avg: 0.62