Treść zadania:"Jaki warunek muszą spełniać współczynniki A1,B1,A2,B2, aby proste A1x+B1y+C1=0 i A2x+B2y+C2=0 były równoległe ?"

Przyznam szczerze że znalazłem rozwiązanie tego zadania już na tym forum w którymś poście ale prawdę mówiąc nie zrozumiałem tamtego rozwiązania ...

Warunek równoległości jest (chyba) dla mnie jasny. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być sobie równe. Po przekształceniu prostych do postaci kierunkowych:

y = (-A1/B1)x - (C1/B1)
y = (-A2/B2)x - (C2/B2)

co by wskazywało na to że (-A1/B1) = (-A2/B2) czyli A1=A2 oraz B1=B2

w rozwiązaniu, które rozwiązałem powyższa odpowiedź na to zadanie jest błędna - nie wiem czemu ...

Sprobuj na https://dojrzewamy.pl. Pisza ponad 2000 odpowiedzi dziennie!

Po mojemu dobrze to rozwiązałeś. Jaką masz odpowiedź w podręczniku?

Z prawidłowo otrzymanego warunku
(-A1/B1) = (-A2/B2)
wnioskujesz błędnie, że musi to oznaczać A1=A2 oraz B1=B2
Otóż nie musi.
Ten warunek, to PROPORCJONALNOŚĆ A1 i A2 do B1 i B2. Z własności takiej proporcji wynika tylko, że A1*B2=A2*B1
(iloczyn wyrazów skrajnych proporcji równy jest iloczynowi wyrazów środkowych).

Zauważ, że ta proporcja jest równoważna proporcji A1/A2 = B1/B2 (otrzymasz ją, mnożąc twoją proporcję stronami przez -B1/A2). Oznaczająć wspólną wartość obu stron tej równości przez p, tj. A1/A2=p i B1/B2=p, otrzymujesz A1=pA2 i B1=pB2
czyli współczynniki A1 i B1 pierwszej prostej muszą by równe odpowiednim współczynnikom drugiej prostej, pomnożaonym przez DOWOLNIE wybraną liczbę p różną od zera. Twoja odpowiedź jest szczególnym przypadkiem tego rozwiązania, mianowicie dla p=1. Ale równie dobrze może być A1=2,7A2 oraz B1=2,7B2,m albo A1=-0,3A2 i B1=0,3B2.
Prawidłowa odpowiedź brzmi: te proste są równoległe, jeśli istnieje taka liczba p=/=0, że A1=pA2 i A2=pB2.

Nie było to proste ale dzięki. Teraz rozumiem