Zadania z wielomianów

nastepnych 20Polecane pytania


Dodaj swoje zadanie domowe za darmo

Edukacja Matematyka

Zadania z wielomianów

Proszę o pomoc w rozwiązaniu i zrozumieniu poniższych zadań:

Zad 1. Wiedząc, że W(x)=-2x {3 potęga} + x - 1, P(x)=x (3 potęga} - 2x {2 potęga} + 3 wyznacz wielomiany:
a) W(x) + 2P(x), b)3W(x) - P(x), c) W(x) .(razy) P(x)
Zad 2. Dla jakiej wartości parametru a liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x {3 potęga} + 2a {2 potęga} x {2 potęga} - 5ax + 1?
Zad 3. Znajdz takie wartości parametrów a i b, aby wielomiany
F(x)=(x + 1)(ax + b) -x {2 potęga} i G(x)=2x {2 potęga} + 5x + 2 były równe.
Zad 4. Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu x {3 potęga} - 3x - 2. Znajdz pozostałe pierwiastki.
Zad 5. Dla jakiej wartości parametru a wielomian W(x)=2ax {3 potęga} - 4x {2 potęga} + ax-2a jest podzielny przez dwumian x-2?
Zad 6. Dla jakiej wartości parametru m przy dzieleniu wielomianu W(x)=3x {3 potęga} + mx {2 potęga} - 4x + 2 przez x-2 otrzymujemy resztę równą 6?
Zad 7. Dla jakiej wartości parametru k wielomian W(x)=x {3 potęga} + k {2 potęga} x {2 potęga} - 4kx-5 jest podzielny przez dwumian x-2?
Zad 8. Wielomian w(x)=x {3 potęga} - (p + q)x {2 potęga} -(p - q)x + 3 jest podzielny przez dwumian x - 1 i x-3.
Oblicz: a) nieznane współczynniki wielomianu b)pierwiastki wielomianu.
Zad 9. Wielomian W(x)=x {3 potęga} + px + q ma trzy pierwiastki x1, x2, x3,przy czym x1=x2, zaś x3=x1-6.Oblicz współczynniki p i q.
Zad 10. Liczby -1 i 2 są pierwiastkami wielomianu W(x)=x {2 potęga} + ax {2 potęga} - x + b. Znajdz współczynniki a i b wielomianu, a następnie rozwiąż nierówność W(x) < (równe)0.
30-01-2006 17:20

Zad 1. Wiedząc, że W(x)=-2x {3 potęga

23-07-2014 02:47:17

Zad 1. Wiedząc, że W(x)=-2x {3 potęga

Zad 1. Wiedząc, że W(x)=-2x {3 potęga} + x - 1, P(x)=x (3 potęga} - 2x {2 potęga} + 3 wyznacz wielomiany:
a) W(x) + 2P(x),

czyli masz wszystko podane i podstawiasz
To jest proste ~~~~!!!

-2x {3 potęga} + x - 1 + 2( x (3 potęga} - 2x {2 potęga} + 3) =
= -2x {3 potęga} + x - 1 +2x do 3 potegi- 4x do 2 potegi+6 =
= -4x kwadrat +x+6
30-01-2006 17:45

Zad 4. Liczba -1 jest pierwiastkiem

Zad 4. Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu x {3 potęga} - 3x - 2. Znajdz pozostałe pierwiastki.

W tym zadaniu musisz podzielic !


[x {3 potęga} - 3x - 2 ] : [ x+1] = x do kwadratu -x -2
czyli z postaci kwadratowej obliczamy delte i pierwiastki rownania

x do kwadratu -x -2
delta rowna 9
a pierwiastek z delty 3
x1 = -1
x2= 2

zatem
x=1,x= -1 , x=2
30-01-2006 17:52

1. a

1. a)

Wymnóż nawias, zredukuj wyrazy podobne, uporządkuj oczywiście wszystko w kolejności malejących potęg x.
b) podobnie,
c)
Wymnóż nawiasy ("każdy wyraz z pierwszego z każdym z drugiego"), poredukuj, uporządkuj.

2. Wstaw zamiast x do tego wyrażenia na wielomian liczbę 1, przyrównaj otrzymane (poredukowane i uporządkowane) wyrażenie z a do zera. Zapiszesz w ten sposób otrzymanym [u:fc2fc68ffb]równaniem[/u:fc2fc68ffb] fakt (czy może raczej życzenie, żeby...) , że 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. A potem oblicz z tego wartość (a raczej wartości, bo równanie będzie kwadratowe względem a) jakie w tym celu musi mieć a.

3. Trzeba doprowadzić F do postaci "standardowej", uporządkowanej:


Te wielomiany są wtedy (i tylko wtedy) równe (czyli tożsame), gdy wszystkie współczynniki przy odpowiednich potęgach x są sobie równe, czyli:
a-1=2 i a+b=5 i b=2

Skoro b=2, to a+2=5 czyli a=3. Sprawdźmy, czy i pierwszy wasrunek zachodzi: 3-1=2 ? Tak - to w porządku.
Więc musi być a=3 i b=2.
Czy rozumiesz, jaka jest [u:fc2fc68ffb]zasada[/u:fc2fc68ffb] rozwiązywania takich zadań?

4. W takim razie wielomian musi być podzielny przez dwumian (x-(-1)) czyli przez dwumian (x+1), tzn. dać się zapisać w postaci
gdzie V(x) jest wielomianem 2. stopnia (trójmianem kwadratowym).
Masz teraz 2 możliwości:
a)jeśli umiesz dzielić wielomian przez dwumian, to oblicz wielomian V(x) czyli podziel ten wielomian 3. stopnia przez dwumian(x+1), a potem znajdź pierwiastki V(x) (przy pomocy "delty", jak zwykle) - skoro dla tych pierwiastków zeruje się V(x), to i cały iloczyn też
b) jeśli nie umiesz dzielić wielomianow, to spróbuj inaczej wyliczyć współczynniki V(x). Wielomian ten musi mieć postać (wsp. przy kwadracie x musi być jedynką, bo po pomnożeniu przez x-1 musi wyjść jedynka przy x do trzeciej).
Czyli musisz dobrać takie p i q, żeby było


A to zadanie już umiesz rozwiazać, bo robi się to tak samo, jak zadanie 3 !
A jak już obliczysz p i q, to pierwiastki trójmianu kwadratowego V(x) chyba nie są dla Ciebie problemem?
30-01-2006 17:53

5. To zadanie robi się dokładnie tak

5. To zadanie robi się dokładnie tak samo, jak zadanie 2, bo wielomian jest podzielny przez (x-2) wtedy i tylko wtedy, gdy 2 jest jego pierwiastkiem. Podstaw 2 zamiast x, przyrównaj do zera, rozwiąż równanie na a.

6. To znaczy, że jak z wielomianu W(x) odejmiesz tę resztę, tzn. 6 (wyraz wolny zmieni się z 2 na -4), to otrzymany wielomian powinien się dzielić bez reszty przez (x-2) - a to już zrobisz (dokładnie tak, jak zad. 5).

7. Tak samo jak w zadaniu 5, tylko niewiadomy parametr jest oznaczony literą k zamiast a - chyba Ci to nie przeszkadza?

8.a) Podobnie jak w zad. 5, ale:
- musisz wypisać DWA równania: jedno stwierdzające, że pierwiastkiem tego wielomianu ma być 1, drugie stwierdzające, że pierwiastkiem tego wielomianu ma być 3. Otrzymasz dwa równania, z których wyliczysz dwie niewiadome p i q
b) Jak już będziesz znać p i q, to możesz wielomian W(x) zapisać z samymi liczbowymi współczynnikami. Ale, skoro 1 i 3 są jego pierwiastkami, to tenże wielomian możesz zapisać w rozkładzie na czynniki (x-1)(x-3)(x-t), gdzie t oznacza ten trzeci pierwiastek. Postępuj dalej jak w zadaniu 3: wymnóż te nawiasy, uporządkuj i przyrównuj do siebie współczynniki w otrzymanym wyrażeniu i w wielomianie W(x) (tym już z liczbami zamiast p i q). Obliczysz t.
Podszepnę Ci: iloczyn wszystkich trzech pierwiastków, czyli 1, 3 i t, da Ci wyraz wolny wielomianu W(x) - wystarczy Ci ten jeden fakt, aby obliczyć t.

9) Czyli te oznaczenia x2 i x3 to zwykła zmyła, bo po prostu pierwiastki tego wielomianu mają wartości: x1, x1 i x1-6. Trzeba tylko wyznaczyć x1.
No, a skoro to są pierwiastki tego wielomianu, to ma on rozkład na czynniki:
Wymnóż te nawiasy, uporządkuj wszystko wg potęg x, przyrównaj do siebie odpowiednie (tzn. przy jednakowych potęgach x) współczynniki w otrzymanym wyrażeniu i w wielomianie W(x). Otrzymasz układ 3 równań z niewiadomymi p, q oraz . Rozwiąż go.

10. Tak jak zadanie 8; skoro to są pierwiastki tego wielomianu, to po ich podstawieniu do wielomianu wynik ma być zerem. Otrzymasz dwa równania na niewiadome a i b. Jak je obliczysz, będziesz mieć postać lewej strony tej nierówności, a nierówności z trójmianami kwadratowymi już dawno masz w małym palcu, prawda? Zresztą Ci przypomnę, że trójmian kwadratowy z dodatnim współczynnikiem przy kwadracie x jest mniejszy lub równy zeru w przedziale (domkniętym) między pierwiastkami - do tego wcale więc nie trzeba było obliczać a i b!!!
Nawiasem mówiąc, a i b można obliczyć w tym zadaniu po prostu ze wzorów Viete'a (to one Ci wyjdą z tych dwóch równań!).
30-01-2006 18:19
pytanie:
odpowiedź:


load_avg: 1.06